포아송 분포

Poisson Distribution; 푸아송 분포
정해진 시간이나 공간 안에서 어떤 사건이 일어나는 횟수를 나타내는 이산형 확률 분포

단위 시간, 단위 면적, 단위 길이 등 정해진 구간 안에서 사건이 평균 λ번 일어날 때, 실제로 x번 일어날 확률을 나타낸다. 모수는 λ(람다) 하나뿐이며, 평균과 분산이 모두 λ로 같다는 점이 가장 큰 특징이다. 시행 횟수 n이 크고 성공 확률 p가 작은 이항 분포의 근사로도 쓰인다. 표기는 흔히 X ~ Poisson(λ) 또는 Po(λ)로 쓴다.

확률질량함수

$P (X = x) = \frac{e^{- λ} λ^{x}}{x!}, x = 0, 1, 2, \dots$

λ > 0은 정해진 구간에서 사건이 일어나는 평균 횟수이다.
x는 0 이상의 정수이며 상한이 없다.
누적분포함수는 $F (x) = \sum_{i = 0}^{x} \frac{e^{- λ} λ^{i}}{i!}$ 이다.

통계량	값
평균	λ
분산	λ
표준편차	√λ
왜도	1/√λ (항상 양수, 오른쪽 꼬리)
최빈값	λ가 정수가 아니면 λ보다 작은 가장 큰 정수, λ가 정수이면 λ와 λ − 1 두 개
모수 추정	λ의 최대가능도 추정량은 표본평균이다.

λ가 작으면 0 근처에 몰린 오른쪽으로 치우친 모양이고, λ가 커질수록 대칭에 가까워져 정규 분포 N(λ, λ)로 근사할 수 있다.

적용 조건

한 구간에서 일어나는 사건 수는 겹치지 않는 다른 구간의 사건 수와 독립이다.
사건이 일어나는 평균 비율이 구간 안에서 일정하다. 구간 길이가 두 배이면 평균 횟수도 두 배가 된다.
아주 짧은 구간에서 사건이 두 번 이상 동시에 일어날 확률은 무시할 만큼 작다.

적용 예

콜센터에 한 시간 동안 걸려 오는 전화 수
웹 서버에 1분 동안 들어오는 요청 수
하루 동안 특정 교차로에서 일어나는 사고 건수
책 한 쪽에 있는 오타 수, 옷감 1m²에 있는 흠집 수
1년 동안 보험사에 접수되는 특정 유형의 청구 건수

이항 분포와의 관계

이항 분포 B(n, p)에서 n이 크고 p가 작으면서 np = λ가 일정하게 유지되면, 이항 분포는 평균 λ인 포아송 분포에 가까워진다. 이항 분포의 분산 np(1 − p)는 p가 0에 가까우면 np와 거의 같아지므로 평균과 분산이 같은 포아송 분포의 성질과도 맞는다.

$(\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \approx \frac{e^{- n p} (n p)^{x}}{x!} (n \to \infty, p \to 0, n p = λ)$

예를 들어 불량률 0.3%인 제품 1,000개 중 불량품 수는 이항 분포 B(1000, 0.003)을 따르고 np = 3이다. scipy로 계산하면 다음과 같다.

불량품 수 x	이항 분포 B(1000, 0.003)	포아송 분포 λ = 3
0	약 0.0496	약 0.0498
2	약 0.2242	약 0.2240

풀이 예

어느 콜센터에 한 시간 동안 평균 3통의 전화가 온다(λ = 3). 전화 수가 포아송 분포를 따른다고 할 때 확률은 다음과 같다(scipy로 검산한 값).

한 시간 동안 전화가 한 통도 오지 않을 확률: $P (X = 0) = e^{- 3} \approx 0.0498$
정확히 1통 올 확률: $P (X = 1) = 3 e^{- 3} \approx 0.1494$
정확히 2통 올 확률: $P (X = 2) = \frac{3^{2}}{2!} e^{- 3} = 4.5 e^{- 3} \approx 0.2240$
2통 이하일 확률: $P (X \leq 2) = (1 + 3 + 4.5) e^{- 3} = 8.5 e^{- 3} \approx 0.4232$
1통 이상 올 확률: $P (X \geq 1) = 1 - e^{- 3} \approx 0.9502$
평균이 3이므로 분산도 3, 표준편차는 √3, 약 1.73이다.
두 시간으로 구간을 늘리면 λ = 6인 포아송 분포를 쓴다.

다른 분포와 비교

항목	이항 분포	포아송 분포	정규 분포
유형	이산형	이산형	연속형
확률변수	n번 시행 중 성공 횟수	정해진 구간의 사건 발생 횟수	연속적인 측정값
값의 범위	0, 1, …, n	0, 1, 2, … (상한 없음)	−∞ ~ ∞
모수	n, p	λ	μ, σ²
평균	np	λ	μ
분산	np(1 − p)	λ	σ²
특징	분산이 평균보다 작다(0 < p < 1일 때)	평균 = 분산	평균에 대해 좌우 대칭
근사 관계	n이 크고 p가 작으면 포아송, np와 n(1 − p)가 충분히 크면 정규 분포로 근사	λ가 크면 정규 분포로 근사	중심 극한 정리에 의해 많은 분포의 극한

시험 포인트

평균과 분산이 모두 λ로 같다.
단위 시간·단위 공간당 사건 발생 횟수를 나타내는 이산형 분포이다. 연속형 분포와 구분한다.
이항 분포에서 n이 크고 p가 작을 때 np = λ로 두어 근사한다.
P(X = 0) = e^−λ, P(X ≥ 1) = 1 − e^−λ 처럼 확률질량함수에 값을 넣어 식을 세우는 방법을 익혀 둔다. 시험에서는 계산기를 쓸 수 없으므로 e^−λ가 들어간 식의 형태로 이해해 두는 것이 좋다.

같이 보기

참고 문헌