T-분포

Student's t-distribution; t분포, 스튜던트 t 분포
정규 모집단에서 모표준편차를 모를 때 표본 표준편차로 표준화한 표본평균이 따르는, 0을 중심으로 좌우 대칭이고 자유도에 따라 모양이 바뀌는 확률분포

모표준편차 σ를 알면 표본평균을 $Z = \frac{\bar{X} - μ}{σ / \sqrt{n}}$ 로 표준화해 표준정규분포(Z 분포)를 쓴다. 실제로는 σ를 모르는 경우가 대부분이어서 표본 표준편차 s로 대신하는데, 이렇게 만든 통계량은 s 자체가 표본마다 흔들리므로 표준정규분포보다 넓게 퍼진다. 이 분포가 t분포이다. 1908년 고셋(W. S. Gosset)이 '스튜던트(Student)'라는 필명으로 발표해 스튜던트 t 분포라고도 한다.

정의

평균 μ인 정규 모집단에서 크기 n의 표본을 뽑으면

T = \frac{\bar{X} - μ}{S / \sqrt{n}} \sim t (n - 1)

$\bar{X}$ : 표본평균, S : 표본 표준편차, n : 표본 크기
자유도는 n − 1이다. 표본평균을 먼저 계산해 쓰므로 제약이 하나 생긴다 → 자유도

일반적으로 Z가 표준정규분포를, V가 자유도 ν인 카이제곱 분포를 따르고 둘이 독립이면 $T = \frac{Z}{\sqrt{V / ν}}$ 는 자유도 ν인 t분포를 따른다.

성질

0을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이다. 평균은 0이다(자유도 1보다 클 때)
분산은 $\frac{ν}{ν - 2}$ (ν > 2)로 1보다 크다. 표준정규분포보다 가운데가 낮고 꼬리가 두껍다
자유도가 커질수록 표준정규분포에 가까워지고, 자유도가 무한대이면 표준정규분포와 같아진다
따라서 표본이 작을 때 t분포는 정규분포가 아니다. "표본 크기와 상관없이 t분포는 정규분포를 따른다"는 틀리다. 정규분포에 가까워지는 것은 표본이 클 때뿐이다
꼬리가 두꺼우므로 같은 신뢰수준에서 임계값이 Z보다 크다. 예를 들어 95% 양측 임계값은 Z 분포에서 1.96이지만 t분포에서는 자유도가 작을수록 이보다 크다. 그만큼 신뢰구간이 넓어진다

Z 분포와 비교

구분	Z 분포(표준정규분포)	t분포
쓰는 경우	모표준편차를 알 때, 또는 대표본일 때	모표준편차를 모를 때, 특히 소표본일 때
검정통계량	$\frac{\bar{X} - μ}{σ / \sqrt{n}}$	$\frac{\bar{X} - μ}{s / \sqrt{n}}$
모양을 정하는 값	없음(하나로 고정)	자유도 (일표본이면 n − 1)
평균 · 분산	0 · 1	0 · ν/(ν − 2), 1보다 크다
꼬리	기준	더 두껍다. 자유도가 커지면 Z 와 같아진다

표본이 크면(흔히 n ≥ 30을 기준으로 든다) 표본 표준편차가 모표준편차에 충분히 가깝고 t분포도 Z 분포에 가까워지므로 Z 분포로 근사한다
모표준편차를 모를 때 평균(또는 평균의 차이)을 검정하는 분포는 자유도 n − 1인 t분포이다. 자유도 n의 Z 분포, F 분포는 맞지 않는다. Z 분포에는 자유도가 없고, F 분포는 두 분산의 비를 다룬다

쓰임

모분산을 모르는 모평균의 구간 추정 : $\bar{x} \pm t_{α / 2} (n - 1) \frac{s}{\sqrt{n}}$
평균을 검정하는 t-검정(단일표본·독립표본·대응표본)과 t-통계량
회귀 분석에서 개별 회귀계수의 유의성 검정

다른 표본분포와의 관계

분포	다루는 것	자유도
Z(표준정규)	모분산을 아는 평균, 비율	없음
t	모분산을 모르는 평균	n − 1 등
카이제곱	분산 하나, 범주형 자료의 적합도·독립성(카이제곱 검정)	n − 1 등
F	두 분산의 비, 분산분석	두 개(분자·분모)

자유도 ν인 t분포를 따르는 T를 제곱하면 자유도 (1, ν)인 F분포를 따른다.

같이 보기

참고 문헌

Student (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1).